ห.ร.ม. (หารร่วมมาก) และ ค.ร.น. (คูณร่วมน้อย) เป็นหัวใจสำคัญของคณิตศาสตร์ระดับประถมปลายและ ม.ต้น ที่ถูกนำมาออกข้อสอบแข่งขันสม่ำเสมอ ทั้งในรูปแบบโจทย์ทฤษฎีจำนวนและโจทย์ปัญหาประยุกต์
1. ทฤษฎีบทพื้นฐานที่ต้องจำให้ขึ้นใจ
ความสัมพันธ์มหัศจรรย์ระหว่าง ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจำนวนนับสองจำนวน $a$ และ $b$:
ห.ร.ม.(a, b) × ค.ร.น.(a, b) = a × b
หมายความว่า ผลคูณของ ห.ร.ม. กับ ค.ร.น. จะเท่ากับผลคูณของสองจำนวนนั้นเสมอ!
2. ขั้นตอนวิธีแบบยูคลิด (Euclidean Algorithm) เพื่อหา ห.ร.ม. เลขหลักแสน
เมื่อตัวเลขมีขนาดใหญ่มาก เช่น 1,848 กับ 1,008 การแยกตัวประกอบจะช้ามาก ให้ใช้วิธีนำตัวมากตั้งแล้วหารด้วยตัวน้อยเพื่อดูเศษ:
- 1,848 = 1,008 × 1 + 840
- 1,008 = 840 × 1 + 168
- 840 = 168 × 5 + 0 (เศษ 0)
- ดังนั้น ห.ร.ม. คือ 168
3. การประยุกต์แก้โจทย์เศษส่วนซ้อน (Nested Fractions)
ในข้อสอบ TEDET และ สสวท. มักออกโจทย์เศษส่วนซ้อน เช่น หาค่าของ $x$ เมื่อกำหนดค่าเศษส่วนต่อเนื่อง การใช้ขั้นตอนวิธียูคลิดย้อนกลับจะช่วยให้ถอดค่าตัวแปรได้ในเวลาไม่ถึง 1 นาที