1. โครงสร้างพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต (Arithmetic Sequence)

ลำดับเลขคณิตคือลำดับที่ผลต่างระหว่างสองพจน์ติดกันมีค่าคงที่เสมอ เรียกผลต่างนี้ว่า \(d\) (Common Difference):

\[ a_n = a_1 + (n - 1)d \]
  • ตัวอย่างลำดับ: \(7, 11, 15, 19, 23, \dots\) จะเห็นว่า \(a_1 = 7\) และ \(d = 4\)
  • พจน์ทั่วไป: \(a_n = 7 + (n - 1)(4) = 4n + 3\)
  • หากต้องการหาพจน์ที่ 100: \(a_{100} = 4(100) + 3 = 403\) คำนวณได้ทันทีโดยไม่ต้องเขียนแจกแจง

2. วิธีหาผลบวก Gauss และผลบวกอนุกรมเลขคณิต

สูตรคลาสสิกของคาร์ล ฟรีดริช เกาส์ ในการหาผลบวกเลขตั้งแต่ 1 ถึง \(n\) มีประโยชน์อย่างยิ่งในการคำนวณจำนวนชิ้นส่วนของโมเดลเรขาคณิต:

\[ \sum_{k=1}^n k = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n + 1)}{2} \]
  • ผลบวกอนุกรมเลขคณิตทั่วไป: \(S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n) = \frac{\text{จำนวนพจน์}}{2} \times (\text{พจน์แรก} + \text{พจน์สุดท้าย})\)
  • สูตรหาจำนวนพจน์: \(n = \frac{\text{พจน์ปลาย} - \text{พจน์ต้น}}{d} + 1\)

3. ลำดับผลต่าง 2 ชั้น (Quadratic Sequences)

เมื่อลำดับชั้นแรกผลต่างไม่คงที่ แต่ผลต่างของผลต่างกลับคงที่ พจน์ทั่วไปจะอยู่ในรูปพหุนามกำลังสอง \(a_n = An^2 + Bn + C\):

  • พิจารณาลำดับ: \(2, 6, 12, 20, 30, \dots\)
  • ผลต่างชั้นที่ 1: \(4, 6, 8, 10, \dots\)
  • ผลต่างชั้นที่ 2: \(2, 2, 2, \dots\) (คงที่ = 2)
  • สังเกตรูปแบบ: \(2 = 1 \times 2\), \(6 = 2 \times 3\), \(12 = 3 \times 4\) ดังนั้น \(a_n = n(n + 1) = n^2 + n\)