Adaptive Simpson: แบ่งละเอียดเฉพาะที่จำเป็น

ภาพรวมของบทเรียน

Adaptive Simpson ใช้ค่าหยาบและค่าละเอียดเปรียบเทียบกัน หากช่วงใดยังคลาดเคลื่อนมาก ระบบจะแบ่งเฉพาะช่วงนั้นต่อ

แนวคิดสำคัญ

• เริ่มจาก Simpson ครอบทั้งช่วง
• แบ่งครึ่งและคำนวณใหม่
• ใช้ผลต่างเป็นตัวประเมิน error
• ทำซ้ำแบบ recursive เฉพาะช่วงที่ยังไม่ผ่าน

Adaptive Simpson เกิดจากข้อสังเกตว่าไม่ใช่ทุกบริเวณของกราฟต้องการความละเอียดเท่ากัน ช่วงที่เรียบมากอาจใช้ช่วงกว้างได้ แต่ช่วงที่โค้งเร็วหรือเปลี่ยนทิศแรงควรแบ่งย่อยมากขึ้น

วิธีนี้เริ่มจากคำนวณ Simpson ครอบช่วงใหญ่หนึ่งครั้ง แล้วแบ่งช่วงครึ่งหนึ่งเพื่อคำนวณ Simpson บนซ้ายและขวา ถ้าผลรวมแบบละเอียดต่างจากแบบหยาบน้อยพอ ก็ยอมรับช่วงนั้น ถ้ายังต่างมากก็แบ่งต่อ

สูตรที่ใช้

ก่อนใช้สูตร ควรอธิบายความหมายของตัวแปร เงื่อนไขจำนวนช่วง และสิ่งที่สูตรกำลังประมาณ ไม่ควรวางสูตรโดยไม่มีบริบท

ให้ \(S_{\text{coarse}}\) คือ Simpson บนช่วง \([a,b]\) ทั้งช่วง และ \(S_{\text{fine}}=S(a,m)+S(m,b)\) เมื่อ \(m=\dfrac{a+b}{2}\) ความต่าง \(|S_{\text{fine}}-S_{\text{coarse}}|\) ใช้เป็นสัญญาณว่าเส้นโค้งที่ fit ครั้งแรกยังหยาบเกินไปหรือไม่

ตัวหาร 15 มาจากการที่ error หลักของ Simpson มีลำดับ \(h^4\) เมื่อแบ่งครึ่งช่วง error หลักจะลดตามอัตราที่นำไปสู่ตัวประกอบ \(2^4-1=15\) ใน Richardson-style correction

ตัวอย่างทีละขั้น

ใช้กราฟที่ด้านหนึ่งโค้งมากกว่าด้านอื่น เพื่อให้เห็นการแบ่งช่วงไม่สม่ำเสมออย่างชัดเจน

1. กำหนดฟังก์ชันและช่วงที่ต้องการประมาณ
2. เลือกจำนวนช่วงหรือระดับการคำนวณ
3. หาค่าฟังก์ชันที่จุดสำคัญ
4. แทนค่าลงในสูตรโดยแสดงทุกบรรทัด
5. เปรียบเทียบกับค่าจริงหรือวิธีอื่นถ้ามี

พิจารณา \(f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}\) บน \([0,2]\) เริ่มคำนวณ Simpson ทั้งช่วงได้ \(S_{\text{coarse}}=1.066667\) แล้วแบ่งเป็น \([0,1]\) และ \([1,2]\) ได้ผลรวม \(S_{\text{fine}}=1.105128\)

ถ้ากำหนด tolerance เป็น \(10^{-4}\) ช่วงนี้ยังไม่ผ่าน จึงต้องแบ่งต่อ แต่เมื่อดูรายช่วงจะพบว่า \([0,1]\) มี error ประมาณ \(0.000137\) ขณะที่ \([1,2]\) มี error ประมาณ \(0.000003\) ดังนั้นช่วงซ้ายควรถูกแบ่งต่อมากกว่าช่วงขวา

สิ่งที่ควรสังเกตจากภาพ

ส่วนนี้ใช้สำหรับแทรกภาพนิ่งจาก Manim หรือภาพเปรียบเทียบสำคัญ เช่น จุดตัวอย่าง พื้นที่ที่ประมาณเกิน–ขาด ตารางค่า หรือเส้นทางของ error

ข้อควรระวัง

• อย่าใช้สูตรโดยไม่ตรวจเงื่อนไขจำนวนช่วง
• อย่าปัดเศษเร็วเกินไปในขั้นกลาง
• ต้องแยก “ค่าประมาณ” ออกจาก “ค่าจริง” ให้ชัด
• ควรอธิบายว่า error ที่กล่าวถึงวัดจากอะไร

tolerance ควรถูกแบ่งให้ช่วงย่อยอย่างมีเหตุผล เช่นให้ครึ่งหนึ่งกับซ้ายและครึ่งหนึ่งกับขวา ไม่เช่นนั้นผลรวม error ทั้งโดเมนอาจเกินเป้าหมายรวม อีกข้อคือบริเวณมี singularity หรือชันมากอาจทำให้ error estimate หลอกได้ ต้องตรวจกราฟและโดเมนก่อนใช้

สรุป

Adaptive Simpson ใช้ค่าหยาบและค่าละเอียดเปรียบเทียบกัน หากช่วงใดยังคลาดเคลื่อนมาก ระบบจะแบ่งเฉพาะช่วงนั้นต่อ

เมื่อมีคลิปแล้ว ให้วางคลิปด้านบนเพื่อใช้ภาพเคลื่อนไหวอธิบาย intuition ส่วนหน้านี้เก็บที่มา สูตร การคำนวณ และรายละเอียดที่คลิปสั้นใส่ไม่หมด