Gaussian Quadrature: เลือกจุดให้ฉลาดที่สุด

ภาพรวมของบทเรียน

Gaussian Quadrature เปลี่ยนคำถามจาก “แบ่งช่วงถี่แค่ไหน” เป็น “ควรวางจุดตรงไหนและให้น้ำหนักเท่าไร” เพื่อให้สูตรแม่นกับพหุนามดีกรีสูงที่สุด

เป้าหมาย: ให้ผู้อ่านเห็นทั้งภาพรวมทางเรขาคณิต ที่มาของสูตร และเหตุผลว่าค่าประมาณดีขึ้นได้อย่างไร

แนวคิดสำคัญ

เริ่มจาก Gauss–Legendre 2 จุด
อธิบายตำแหน่ง ±1/√3
แสดงว่าพหุนามดีกรี 3 แม่นตรง
แปลงช่วง [a,b] ไปเป็น [-1,1]

Gaussian Quadrature เปลี่ยนมุมคิดจาก “แบ่งช่วงให้ถี่ขึ้น” เป็น “เลือกจุดให้ฉลาดขึ้น” แทนที่จะใช้จุดปลายหรือจุดที่ห่างเท่ากัน วิธีนี้เลือกทั้งตำแหน่งจุดและน้ำหนักเพื่อให้สูตร exact กับพหุนามดีกรีสูงที่สุดเท่าที่จำนวนจุดจะทำได้

สำหรับ Gauss-Legendre บนช่วงมาตรฐาน \([-1,1]\) จุดจะเป็นรากของ Legendre polynomial และน้ำหนักถูกเลือกให้ปริพันธ์ของพหุนามตรงพอดี จากนั้นจึงแปลงช่วงจริง \([a,b]\) กลับมาที่ \([-1,1]\)

ภาพจำ: ไม่ได้วางจุดเท่ากัน แต่เลื่อนจุดเข้าไปในตำแหน่งที่ให้ข้อมูลมากที่สุดสำหรับการประมาณพื้นที่

สูตรที่ใช้

\[\int_{-1}^{1}f(x)\,dx\approx\sum_{i=1}^{n}w_i f(x_i)\]

ก่อนใช้สูตร ควรอธิบายความหมายของตัวแปร เงื่อนไขจำนวนช่วง และสิ่งที่สูตรกำลังประมาณ ไม่ควรวางสูตรโดยไม่มีบริบท

สูตรสองจุดบน \([-1,1]\) คือใช้จุด \(t_1=-\dfrac{1}{\sqrt3}\), \(t_2=\dfrac{1}{\sqrt3}\) และน้ำหนัก \(w_1=w_2=1\)

\[\int_{-1}^{1} g(t)\,dt\approx g\left(-\frac{1}{\sqrt3}\right)+g\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)\]

ถ้าต้องการอินทิเกรตบน \([a,b]\) ใช้การแปลง \(x=\dfrac{b-a}{2}t+\dfrac{a+b}{2}\) และ \(dx=\dfrac{b-a}{2}dt\) จึงได้

\[\int_a^b f(x)\,dx\approx\frac{b-a}{2}\sum_{i=1}^{m}w_i f\left(\frac{b-a}{2}t_i+\frac{a+b}{2}\right)\]

ตัวอย่างทีละขั้น

เปรียบเทียบ 2 จุดของ Gauss กับกฎทั่วไปที่ใช้จำนวนจุดใกล้เคียงกัน

กำหนดฟังก์ชันและช่วงที่ต้องการประมาณ
เลือกจำนวนช่วงหรือระดับการคำนวณ
หาค่าฟังก์ชันที่จุดสำคัญ
แทนค่าลงในสูตรโดยแสดงทุกบรรทัด
เปรียบเทียบกับค่าจริงหรือวิธีอื่นถ้ามี

ประมาณ \(\int_0^1 x^4\,dx=0.2\) ด้วย Gauss-Legendre 2 จุด แปลงจาก \([0,1]\) ไป \([-1,1]\) จะได้ \(x=\dfrac{t+1}{2}\) และตัวคูณหน้า \(\dfrac{1}{2}\)

\[x_1=\frac{1-1/\sqrt3}{2}\approx0.211325,\qquad x_2=\frac{1+1/\sqrt3}{2}\approx0.788675\]

\[G_2=\frac12\left(x_1^4+x_2^4\right)\approx0.194444\]

วิธี	ค่าประมาณ	ค่าจริง	error
Gauss 2 จุด	0.194444	0.200000	0.005556

ผลไม่ exact เพราะ 2 จุด exact ได้ถึงพหุนามดีกรี 3 ส่วน \(x^4\) เป็นดีกรี 4 ถ้าเพิ่มเป็น 3 จุด วิธีจะ exact ได้ถึงดีกรี 5 และตัวอย่างนี้จะตรงพอดีในเลขคณิต exact

สิ่งที่ควรสังเกตจากภาพ

ส่วนนี้ใช้สำหรับแทรกภาพนิ่งจาก Manim หรือภาพเปรียบเทียบสำคัญ เช่น จุดตัวอย่าง พื้นที่ที่ประมาณเกิน–ขาด ตารางค่า หรือเส้นทางของ error

IMAGE SLOT: เพิ่มภาพจากคลิปภายหลัง พร้อม alt text และคำอธิบายใต้ภาพ

ข้อควรระวัง

อย่าใช้สูตรโดยไม่ตรวจเงื่อนไขจำนวนช่วง
อย่าปัดเศษเร็วเกินไปในขั้นกลาง
ต้องแยก “ค่าประมาณ” ออกจาก “ค่าจริง” ให้ชัด
ควรอธิบายว่า error ที่กล่าวถึงวัดจากอะไร

อย่าลืมแปลงช่วง: จุดและน้ำหนักมาตรฐานอยู่บน \([-1,1]\) ถ้าโจทย์อยู่บน \([a,b]\) ต้องแปลงทั้งตำแหน่งจุดและตัวคูณ \((b-a)/2\)

Gaussian Quadrature เหมาะกับฟังก์ชันเรียบและประเมินค่าได้ที่จุดใดก็ได้ แต่ไม่เหมาะกับข้อมูลตารางที่มีเฉพาะจุดห่างเท่ากัน เพราะจุด Gaussian มักไม่ตรงกับจุดข้อมูลเดิม นอกจากนี้ถ้าฟังก์ชันมี singularity ต้องจัดการช่วงหรือเปลี่ยนตัวแปรก่อน

สรุป

เมื่อมีคลิปแล้ว ให้วางคลิปด้านบนเพื่อใช้ภาพเคลื่อนไหวอธิบาย intuition ส่วนหน้านี้เก็บที่มา สูตร การคำนวณ และรายละเอียดที่คลิปสั้นใส่ไม่หมด