Simpson 1/3 vs 3/8: เลือกแบบไหนดี

ภาพรวมของบทเรียน

ทั้งสองวิธีอยู่ในตระกูล Newton–Cotes และต่างกันที่จำนวนช่วงต่อหนึ่งชุด เงื่อนไขการใช้งาน และรูปแบบน้ำหนัก

แนวคิดสำคัญ

• 1/3 ใช้สองช่วงต่อชุด
• 3/8 ใช้สามช่วงต่อชุด
• ความแม่นขึ้นกับทั้งฟังก์ชันและจำนวนช่วง
• บางงานสามารถผสมสองสูตรในช่วงเดียวกันได้

Simpson’s 1/3 และ 3/8 มีรากเดียวกันคือใช้เส้นโค้งแทนกราฟ แต่ต่างกันที่จำนวนช่วงต่อหนึ่งชุด 1/3 ใช้ 2 ช่วงและ 3 จุด ส่วน 3/8 ใช้ 3 ช่วงและ 4 จุด ดังนั้นการเลือกวิธีมักเริ่มจากดูจำนวนช่วงที่โจทย์หรือข้อมูลให้มา

ถ้าเลือกจำนวนช่วงเองได้และต้องการสูตรเรียบง่าย 1/3 มักเป็นตัวเลือกหลัก เพราะใช้บ่อยและมีค่าคงที่ error เล็กกว่าในหลายกรณีสำหรับ \(h\) เดียวกัน แต่ถ้าจำนวนช่วงเหลือเป็น 3 ช่วงท้าย การใช้ 3/8 มาช่วยจะเป็นทางออกที่เป็นระบบ

สูตรที่ใช้

ก่อนใช้สูตร ควรอธิบายความหมายของตัวแปร เงื่อนไขจำนวนช่วง และสิ่งที่สูตรกำลังประมาณ ไม่ควรวางสูตรโดยไม่มีบริบท

น้ำหนักของ 1/3 มีรูปแบบ \(1,4,2,4,\ldots,2,4,1\) ส่วน 3/8 มีรูปแบบ \(1,3,3,2,3,3,2,\ldots,3,3,1\) เมื่อใช้หลายชุดต่อกัน ความต่างนี้มาจากจำนวนจุดที่แต่ละสูตรใช้สร้างเส้นโค้งในหนึ่งชุด

ทั้งสองสูตร exact สำหรับพหุนามดีกรีไม่เกิน 3 แต่พจน์ error และค่าคงที่ไม่เหมือนกัน จึงไม่ควรประกาศว่าวิธีหนึ่งดีที่สุดเสมอโดยไม่ดูเงื่อนไขของข้อมูล

ตัวอย่างทีละขั้น

เปรียบเทียบด้วยฟังก์ชันเดียวกันและจำนวนจุดใกล้เคียงกัน พร้อมตาราง error

1. กำหนดฟังก์ชันและช่วงที่ต้องการประมาณ
2. เลือกจำนวนช่วงหรือระดับการคำนวณ
3. หาค่าฟังก์ชันที่จุดสำคัญ
4. แทนค่าลงในสูตรโดยแสดงทุกบรรทัด
5. เปรียบเทียบกับค่าจริงหรือวิธีอื่นถ้ามี

ลองประมาณ \(\int_0^1 e^x\,dx=e-1\approx1.718282\) โดยใช้ \(n=6\) ซึ่งใช้ได้ทั้ง 1/3 และ 3/8 เพราะ 6 เป็นทั้งเลขคู่และหารด้วย 3 ลงตัว

ในตัวอย่างนี้ 1/3 แม่นกว่าเล็กน้อย แต่สิ่งที่ควรจำคือทั้งสองสูตรให้ error เล็กกว่า Trapezoid มากเมื่อฟังก์ชันเรียบ และใช้ \(h\) เท่ากัน

สิ่งที่ควรสังเกตจากภาพ

ส่วนนี้ใช้สำหรับแทรกภาพนิ่งจาก Manim หรือภาพเปรียบเทียบสำคัญ เช่น จุดตัวอย่าง พื้นที่ที่ประมาณเกิน–ขาด ตารางค่า หรือเส้นทางของ error

ข้อควรระวัง

• อย่าใช้สูตรโดยไม่ตรวจเงื่อนไขจำนวนช่วง
• อย่าปัดเศษเร็วเกินไปในขั้นกลาง
• ต้องแยก “ค่าประมาณ” ออกจาก “ค่าจริง” ให้ชัด
• ควรอธิบายว่า error ที่กล่าวถึงวัดจากอะไร

ถ้า \(n=5\) ไม่ควรฝืนใช้ 1/3 ทั้งหมดหรือ 3/8 ทั้งหมด ทางเลือกปกติคือใช้ 1/3 กับ 2 ช่วงแรกและ 3/8 กับ 3 ช่วงที่เหลือ หรือสลับตำแหน่งตามบริเวณที่ต้องการความเหมาะสม

ถ้าข้อมูลมาจากการวัดและมี noise มาก สูตรที่ใช้เส้นโค้งอาจให้ภาพหลอกว่าคำตอบแม่นขึ้น ทั้งที่ error จากข้อมูลเริ่มต้นใหญ่กว่า error จากสูตรเชิงตัวเลขเสียอีก

สรุป

ทั้งสองวิธีอยู่ในตระกูล Newton–Cotes และต่างกันที่จำนวนช่วงต่อหนึ่งชุด เงื่อนไขการใช้งาน และรูปแบบน้ำหนัก

เมื่อมีคลิปแล้ว ให้วางคลิปด้านบนเพื่อใช้ภาพเคลื่อนไหวอธิบาย intuition ส่วนหน้านี้เก็บที่มา สูตร การคำนวณ และรายละเอียดที่คลิปสั้นใส่ไม่หมด