Trapezoidal Rule: ใช้เส้นตรงแทนความโค้ง

ภาพรวมของบทเรียน

Trapezoidal Rule เชื่อมค่าฟังก์ชันที่ปลายช่วงด้วยเส้นตรง จึงสะท้อนแนวโน้มของกราฟได้ดีกว่า Riemann Sum แบบสี่เหลี่ยมในหลายกรณี

เป้าหมาย: ให้ผู้อ่านเห็นทั้งภาพรวมทางเรขาคณิต ที่มาของสูตร และเหตุผลว่าค่าประมาณดีขึ้นได้อย่างไร

แนวคิดสำคัญ

แบ่งช่วงเท่า ๆ กัน
สร้างสี่เหลี่ยมคางหมูในแต่ละช่วง
รวมพื้นที่ทุกชิ้น
สังเกตผลของความโค้งต่อ error

Trapezoidal Rule เริ่มจากคำถามง่าย ๆ ว่า ถ้าขอบบนของพื้นที่ไม่ควรเป็นเส้นนอนแบบสี่เหลี่ยม เราจะใช้เส้นตรงเชื่อมค่าฟังก์ชันที่ปลายช่วงแทนได้ไหม คำตอบคือได้ และพื้นที่ใต้เส้นตรงนั้นคือสี่เหลี่ยมคางหมู

เมื่อแบ่งช่วง \([a,b]\) เป็นหลายช่วงย่อย แต่ละช่วงใช้ค่าที่ปลายซ้ายและปลายขวาสร้างสี่เหลี่ยมคางหมูหนึ่งชิ้น ความสูงเฉลี่ยของชิ้นนั้นคือ \(\dfrac{f(x_{i-1})+f(x_i)}{2}\) แล้วคูณด้วยความกว้าง \(h\)

ภาพจำ: Riemann Sum ใช้หลังคาแบน ส่วน Trapezoidal Rule ใช้หลังคาเอียงที่เชื่อมปลายกราฟสองด้าน จึงเห็นแนวโน้มขึ้นลงของกราฟในช่วงนั้นได้ดีกว่า

สูตรที่ใช้

\[T_n=\frac{h}{2}\left[f(x_0)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(x_n)\right]\]

ก่อนใช้สูตร ควรอธิบายความหมายของตัวแปร เงื่อนไขจำนวนช่วง และสิ่งที่สูตรกำลังประมาณ ไม่ควรวางสูตรโดยไม่มีบริบท

ให้ \(h=\dfrac{b-a}{n}\) และ \(x_i=a+ih\) จุดปลาย \(x_0\) กับ \(x_n\) ถูกใช้ครั้งเดียว ส่วนจุดภายใน \(x_1,\ldots,x_{n-1}\) ถูกแชร์โดยสี่เหลี่ยมคางหมูสองชิ้น จึงมีน้ำหนักเป็น 2 ในสูตรรวม

\[T_n=h\left(\frac{f(x_0)}{2}+f(x_1)+\cdots+f(x_{n-1})+\frac{f(x_n)}{2}\right)\]

รูปนี้เท่ากับสูตรเดิม \(T_n=\dfrac{h}{2}[f(x_0)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(x_n)]\) ข้อดีของการเขียนแบบแรกคือเห็นชัดว่าปลายช่วงมีน้ำหนักครึ่งหนึ่ง ส่วนจุดกลางทั้งหมดมีน้ำหนักเต็ม

ตัวอย่างทีละขั้น

คำนวณพื้นที่ใต้กราฟ 1/(1+x²) แล้วเปรียบเทียบเมื่อใช้ 1, 2 และ 4 ช่วง

กำหนดฟังก์ชันและช่วงที่ต้องการประมาณ
เลือกจำนวนช่วงหรือระดับการคำนวณ
หาค่าฟังก์ชันที่จุดสำคัญ
แทนค่าลงในสูตรโดยแสดงทุกบรรทัด
เปรียบเทียบกับค่าจริงหรือวิธีอื่นถ้ามี

ประมาณ \(\int_0^1 \dfrac{1}{1+x^2}\,dx\) ซึ่งค่าจริงคือ \(\arctan(1)-\arctan(0)=\dfrac{\pi}{4}\approx0.785398\)

เมื่อ \(n=2\), \(h=0.5\), จุดคือ \(0,0.5,1\) และค่าฟังก์ชันคือ \(1,0.8,0.5\)

\[T_2=\frac{0.5}{2}\left(1+2(0.8)+0.5\right)=0.775000\]

\(n\)	\(h\)	\(T_n\)	error จาก \(\pi/4\)
1	1	0.750000	0.035398
2	0.5	0.775000	0.010398
4	0.25	0.782794	0.002604
8	0.125	0.784747	0.000651

เมื่อ \(h\) ลดลงครึ่งหนึ่ง error ลดลงชัดเจน เพราะเส้นตรงในแต่ละช่วงมีโอกาสเกาะกราฟได้ดีขึ้น แต่ถ้ากราฟโค้งมากในบางช่วง การใช้เส้นตรงยังอาจประมาณเกินหรือต่ำกว่าจริงได้

สิ่งที่ควรสังเกตจากภาพ

ส่วนนี้ใช้สำหรับแทรกภาพนิ่งจาก Manim หรือภาพเปรียบเทียบสำคัญ เช่น จุดตัวอย่าง พื้นที่ที่ประมาณเกิน–ขาด ตารางค่า หรือเส้นทางของ error

IMAGE SLOT: เพิ่มภาพจากคลิปภายหลัง พร้อม alt text และคำอธิบายใต้ภาพ

ข้อควรระวัง

อย่าใช้สูตรโดยไม่ตรวจเงื่อนไขจำนวนช่วง
อย่าปัดเศษเร็วเกินไปในขั้นกลาง
ต้องแยก “ค่าประมาณ” ออกจาก “ค่าจริง” ให้ชัด
ควรอธิบายว่า error ที่กล่าวถึงวัดจากอะไร

ระวังน้ำหนัก: จุดภายในมีน้ำหนัก 2 เฉพาะในสูตรวงเล็บ ไม่ใช่ทุกจุดรวมถึงปลายช่วง

Trapezoidal Rule ต้องใช้จุดที่เรียงห่างเท่ากันเมื่อใช้สูตร composite แบบนี้ ถ้าข้อมูลจริงห่างไม่เท่ากัน ต้องคำนวณพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูทีละช่วงด้วยความกว้างของช่วงนั้นแทน

อีกจุดที่ควรตรวจคือความโค้งของกราฟ ถ้ากราฟเว้า/นูนชัด เส้นตรงอาจตัดผ่านกราฟและทำให้เกิดพื้นที่เกินกับขาดคนละบริเวณ การดูแค่ค่าประมาณหนึ่งครั้งจึงไม่พอ ควรลองเพิ่ม \(n\) หรือเทียบกับวิธีลำดับสูงกว่า

สรุป

เมื่อมีคลิปแล้ว ให้วางคลิปด้านบนเพื่อใช้ภาพเคลื่อนไหวอธิบาย intuition ส่วนหน้านี้เก็บที่มา สูตร การคำนวณ และรายละเอียดที่คลิปสั้นใส่ไม่หมด